在机械传动系统中，轴是核心承载与传力零件，主要承受扭矩、弯矩的单独或联合作用，其工作性能直接决定整个机械装置的可靠性与使用寿命。轴的失效形式主要表现为疲劳断裂、过量塑性变形，或因刚度不足导致的过大挠度、转角，进而引发轴承卡死、齿轮啮合失常、带轮打滑等连锁故障。因此，轴的设计过程中，必须重点完成扭转强度、弯曲强度（弯扭组合强度）及刚度（挠度/转角）的精确计算与校核，结合材料力学基础理论与机械设计工程简化方法，兼顾计算准确性与工程实用性，适配阶梯轴、光轴等常规轴类零件的设计需求。
轴的强度与刚度计算需遵循规范流程，先明确计算前提、准备基本参数，再依次完成各项强度与刚度校核，最后结合结构特点优化设计。以下将详细阐述轴的扭转强度、弯曲强度及挠度计算的核心原理、公式应用、计算步骤，并补充工程实用要点与示例，为轴的设计与校核提供完整参考。
一、计算前提与基本参数准备
轴的强度与刚度计算需基于明确的已知条件，完成关键参数换算与危险截面判定，为后续计算奠定基础，避免因参数缺失或判定偏差导致计算结果失真。
核心已知条件包括：轴的传递功率P（kW）、转速n（r/min）或转矩T（N·m），三者是计算轴受力的基础；轴的支撑形式，机械工程中以简支轴最为常见，如轴承支撑的传动轴，少数场景采用悬臂轴、固支轴；轴的材料选择，需根据工作载荷确定材料牌号，进而获取许用切应力[τ]、许用弯曲应力[σ₋₁]、弹性模量E，常用碳钢、合金钢的力学性能可参考工程常用参数；轴上载荷分布，主要考虑径向载荷Fᵣ，轴向载荷Fₐ对弯曲、扭转强度影响较小，通常可忽略，仅需关注径向载荷产生的弯矩；轴的结构尺寸，包括直径d、跨距L及各段长度，光轴直接采用公称直径，阶梯轴需按危险截面取当量直径计算。
关键参数换算中，若已知功率P与转速n，需先计算轴传递的公称转矩T，换算公式为T=9550·P/n（N·m），式中9550为功率-转速-转矩的专用换算系数，适配P（kW）、n（r/min）、T（N·m）的单位体系，计算后需将转矩单位换算为N·mm，便于后续强度与刚度计算。
危险截面的判定是计算的核心环节，轴的危险截面是扭矩与弯矩组合作用最大、直径最小、应力集中最严重的截面，常见于轴肩、键槽、花键等结构突变处。计算时需优先针对危险截面进行分析，若无明显应力集中，光轴可整体按公称直径近似计算。此外，有应力集中时需引入应力集中系数Kσ，键槽的Kσ约为1.4~1.6，花键的Kσ约为1.2~1.4，静载荷下许用应力可提高20%~30%。
常用轴材料的力学性能参考：45钢经220~250HBW调质处理后，许用切应力[τ]为40~50MPa，许用弯曲应力[σ₋₁]为60~70MPa，弹性模量E为206GPa；40Cr调质处理（240~280HBW）后，[τ]为50~60MPa，[σ₋₁]为70~90MPa，E为206GPa；20CrMnTi调质处理（280~320HBW）后，[τ]为60~70MPa，[σ₋₁]为90~110MPa，E为206GPa，碳钢与合金钢的弹性模量差异较小，计算中可统一取值。
二、轴的扭转强度计算
扭转强度计算的核心目的，是校核轴在纯扭矩或主要承受扭矩时的抗扭能力，确保轴在扭矩作用下不发生塑性变形或疲劳破坏，同时可作为轴的初步设计公式，快速估算轴的最小直径，为后续结构设计提供依据。
圆截面轴的扭转切应力沿半径线性分布，最大扭转切应力出现在截面边缘，纯扭转时的强度条件为τₘₐₓ=T/Wₜ≤[τ]。式中，τₘₐₓ为危险截面的最大扭转切应力（MPa）；T为危险截面的扭矩（N·mm）；Wₜ为圆截面轴的抗扭截面系数（mm³），实心圆轴的抗扭截面系数Wₜ=πd³/16≈0.196d³，空心圆轴的Wₜ=πd³/16(1-α⁴)，其中α=d₀/d，d₀为内孔直径，d为外圆直径；[τ]为轴材料的许用扭转切应力（MPa），可根据材料牌号选取。
工程设计中，实心圆轴应用最为广泛，将Wₜ=0.196d³代入强度条件，可整理得到实心圆轴扭转初步设计公式（无键槽时）：d≥∛(T/(0.196[τ]))。若轴上有键槽，需考虑键槽对截面的削弱和应力集中影响，对估算直径进行修正：单键槽时，直径增大5%~7%；双键槽（对称布置）时，直径增大10%~15%，避免因键槽削弱导致扭转强度不足。
为便于理解，结合工程实例说明扭转强度校核过程：已知45钢轴，传递功率P=10kW，转速n=1000r/min，危险截面直径d=40mm，单键槽，许用切应力[τ]=45MPa。第一步，计算转矩T=9550×10/1000=95.5N·m=95500N·mm；第二步，计算抗扭截面系数Wₜ=0.196×40³=12544mm³；第三步，计算最大切应力τₘₐₓ=95500/12544≈7.61MPa，小于许用切应力45MPa，说明该轴的扭转强度满足设计要求。
三、轴的弯曲强度计算（弯扭组合强度）
机械工程中的轴大多处于弯扭组合受载状态，如带轮轴、齿轮轴，既需要传递扭矩以输送动力，又需要承受径向载荷产生的弯矩，此时仅校核扭转强度远远不够，需按弯扭组合强度进行校核。弯扭组合强度计算核心采用第三强度理论（形状改变比能理论），适配塑性材料轴的强度校核，可准确判断轴在复合载荷作用下的失效风险。
弯扭组合强度计算分为两步，首先计算危险截面的合成弯矩，再代入第三强度理论公式进行强度校核。合成弯矩的计算需通过轴的受力分析、绘制弯矩图，确定最大合成弯矩：简支轴受径向载荷Fᵣ₁、Fᵣ₂…Fᵣₙ时，先按静力学平衡条件∑Fᵧ=0、∑Mₐ=0计算左右支座反力Rₐ、Rᵦ；若单个径向载荷Fᵣ作用在简支轴中点（跨距L），危险截面（中点）的弯矩M=FᵣL/4；若存在多个径向载荷，需逐点计算各截面的水平弯矩Mₕ和垂直弯矩Mᵥ，再通过矢量合成得到合成弯矩M=√(Mₕ²+Mᵥ²)，弯矩单位需统一为N·mm，与扭矩单位保持一致。
圆截面轴在弯扭组合作用下，危险截面的当量弯曲应力为第三强度理论的计算值，强度条件为σₑ=√(M²+(αₜT)²)/W_z≤[σ₋₁]。式中，σₑ为危险截面的当量弯曲应力（MPa）；M为危险截面的合成弯矩（N·mm）；T为危险截面的扭矩（N·mm）；αₜ为扭矩修正系数，用于考虑扭矩的循环特性，静载荷或扭矩不变（如匀速传动轴）时αₜ=0.3，扭矩对称循环（如频繁正反转轴）时αₜ=1.0，扭矩脉动循环（如单向间歇传动）时αₜ=0.6；W_z为圆截面轴的抗弯截面系数（mm³），实心圆轴W_z=πd³/32≈0.0982d³，空心圆轴W_z=πd³/32(1-α⁴)；[σ₋₁]为材料的许用弯曲应力（对称循环，MPa），有应力集中时，需将[σ₋₁]除以应力集中系数Kσ。
需注意，抗弯截面系数W_z与抗扭截面系数Wₜ存在固定关系，W_z=Wₜ/2，因此弯扭组合公式也可通过切应力和弯曲应力推导得出，本质一致。此外，轴向载荷Fₐ仅产生压应力或拉应力，若σₐ=Fₐ/A（A=πd²/4）远小于当量弯曲应力，可忽略不计，否则需将其叠加到当量应力中。
结合工程实例说明弯扭组合强度校核：已知40Cr简支轴，跨距L=200mm，中点受径向载荷Fᵣ=5000N，传递转矩T=100N·m=100000N·mm，轴直径d=50mm，匀速传动（αₜ=0.3），许用弯曲应力[σ₋₁]=80MPa，无明显应力集中。第一步，计算中点弯矩M=5000×200/4=250000N·mm；第二步，计算抗弯截面系数W_z=0.0982×50³=12275mm³；第三步，计算当量弯曲应力σₑ=√(250000²+(0.3×100000)²)/12275≈20.52MPa，小于许用弯曲应力80MPa，弯扭组合强度满足设计要求。
四、轴的刚度计算（挠度计算）
轴的刚度是指其抵抗变形的能力，需特别注意的是，强度满足设计要求的轴，刚度未必满足。若轴的挠度（径向变形）或转角（支撑处/轴端转角）过大，会导致轴承卡死、齿轮啮合间隙不均、带轮打滑等故障，因此必须进行刚度校核。轴的刚度计算分为挠度校核（控制径向变形量）和转角校核（控制支撑处/轴端转角），工程中最常用叠加法，将多个载荷的变形叠加，简化计算过程，兼顾准确性与效率。
刚度计算的基本参数包括：挠度y（轴的径向变形量，mm），许用挠度[y]按轴的工作类型确定；转角θ（轴的截面转角，rad），许用转角[θ]按轴承或传动要求确定；弹性模量E（轴材料的弹性模量，MPa，1GPa=1000MPa）；惯性矩I（圆截面轴的惯性矩，mm⁴），实心圆轴I=πd⁴/64≈0.0491d⁴，空心圆轴I=πd⁴/64(1-α⁴)。
工程通用的许用挠度与许用转角参考：一般传动轴的许用挠度[y]≤(0.0001~0.0005)L，轴承处许用转角[θ]≤0.001~0.002rad；齿轮轴（圆柱齿轮）的许用挠度[y]≤0.0001d（d为齿轮分度圆直径），轴承处许用转角[θ]≤0.0015rad；带轮/链轮轴的许用挠度[y]≤0.0002L（L为跨距），轴承处许用转角[θ]≤0.002rad；精密机床主轴的许用挠度[y]≤0.00005L，轴端许用转角[θ]≤0.0005rad，可根据实际工作场景灵活调整。
叠加法的核心原理是将轴上每个径向载荷单独作用时的挠度计算出来，再按矢量叠加得到总挠度，同方向直接相加，不同方向进行矢量合成。以下为简支实心圆轴常见载荷下的挠度公式，可直接套用，均为弹性变形，变形与载荷成正比：中点受单个径向载荷Fᵣ时，最大挠度yₘₐₓ=FᵣL³/(48EI)；距左端a处受单个径向载荷Fᵣ（b=L-a）时，最大挠度y=Fᵣab(L²-a²-b²)^(1/2)/(9√3 EIL)；均布载荷q（N/mm）作用时，中点最大挠度yₘₐₓ=5qL⁴/(384EI)。
挠度校核的核心条件为yₘₐₓ≤[y]，结合工程实例说明挠度校核过程：已知45钢简支传动轴，跨距L=300mm，直径d=40mm，中点受径向载荷Fᵣ=3000N，E=206GPa=206×10³MPa，许用挠度[y]=0.0002L=0.06mm。第一步，计算惯性矩I=0.0491×40⁴=125696mm⁴；第二步，计算中点挠度yₘₐₓ=3000×300³/(48×206×10³×125696)≈0.0652mm；第三步，校核发现yₘₐₓ≈0.0652mm＞0.06mm，挠度略超，需增大轴直径（如增大至42mm）后重新校核，直至满足刚度要求。
若轴的挠度或转角超标，可采取针对性改进措施：优先增大轴的直径，因为轴的变形与d⁴成反比，直径对刚度的影响最为显著；其次可缩短轴的跨距，变形与L³或L⁴成正比，缩短跨距可有效降低变形；提高材料的弹性模量效果有限，因为碳钢与合金钢的弹性模量相近；此外，采用空心轴可在相同重量下增大惯性矩I，提升轴的刚度，适合对重量有要求的场景。
五、工程设计要点与计算流程总结
工程中轴多为阶梯轴，其计算需注意四点：危险截面取直径最小且弯扭组合最大的截面，各段直径差异小时可按最小直径近似计算；抗扭、抗弯截面系数按各段实际直径计算，危险截面取对应直径；挠度与转角计算采用分段叠加法，按各段惯性矩分段计算变形后叠加；轴肩、键槽、倒角处需引入应力集中系数，降低许用应力或增大直径，避免应力集中导致失效。
轴的设计校核通用流程可总结为六步：一是初步设计，由扭转强度公式估算轴的最小直径，考虑键槽修正后确定轴的基本结构；二是受力分析，绘制轴的受力图，计算支座反力，确定各截面的弯矩和扭矩；三是弯扭组合强度校核，按第三强度理论计算危险截面的当量应力，校核是否满足许用弯曲应力；四是刚度校核，用叠加法计算危险截面的挠度和轴承处的转角，校核是否满足许用变形；五是应力集中校核，对结构突变处引入应力集中系数，修正后重新校核强度；六是结构优化，若强度或刚度不满足，调整轴的直径、跨距或结构，重复上述步骤，直至满足设计要求。
综上，轴的扭转强度、弯曲强度及挠度计算是轴设计的核心环节，三者相辅相成、缺一不可。扭转强度决定轴的最小直径，弯扭组合强度确保轴在复合载荷下不失效，刚度确保轴的变形在允许范围内，结合工程实例与简化公式，可高效完成轴的设计与校核，为机械传动系统的可靠运行提供保障。
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